线性代数示例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 49 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程

p (λ)

$p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 2

大小为

$3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的

$3 \times 3$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

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解题步骤 3.1

代入

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}]$ 替换

$A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 3.2

代入

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换

$I_{3}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将

$- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

将

$2$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.4

将

$2$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

将

$49$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 & 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.1.3

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.4

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.7

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.1.8

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2

将

$0$ 乘以

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.3

将

$0$ 乘以

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.4

计算

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开

$(4 - λ) (4 - λ)$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.1

将

$4$ 乘以

$4$ 。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$4$ 。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.3

将

$4$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.5.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.5.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.6

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.7

将

$λ^{2}$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.2

从

$- 4 λ$ 中减去

$4 λ$ 。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.3

将

$- 49$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 49) + 0$

解题步骤 5.4.2.2

从

$16$ 中减去

$49$ 。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (- 8 λ + λ^{2} - 33) + 0$

解题步骤 5.4.2.3

将

$- 8 λ$ 和

$λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$

解题步骤 5.5

化简行列式。

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解题步骤 5.5.1

合并

$0 + (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 5.5.1.1

将

$0$ 和

$(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ 相加。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$

解题步骤 5.5.1.2

将

$(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$

解题步骤 5.5.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开

$(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ 。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 8 λ) + 3 \cdot - 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

解题步骤 5.5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1

将

$- 8$ 乘以

$3$ 。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 3 \cdot - 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

解题步骤 5.5.3.2

将

$3$ 乘以

$- 33$ 。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

解题步骤 5.5.3.3

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.3.3.1

移动

$λ^{2}$ 。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

解题步骤 5.5.3.3.2

将

$λ^{2}$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.5.3.3.2.1

对

$λ$ 进行

$1$ 次方运算。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

解题步骤 5.5.3.3.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

解题步骤 5.5.3.3.3

将

$2$ 和

$1$ 相加。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

解题步骤 5.5.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot - 33$

解题步骤 5.5.3.5

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.5.3.5.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 33$

解题步骤 5.5.3.5.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot - 33$

解题步骤 5.5.3.6

将

$- 1$ 乘以

$- 8$ 。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot - 33$

解题步骤 5.5.3.7

将

$- 33$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 8 λ^{2} + 33 λ$

解题步骤 5.5.4

将

$3 λ^{2}$ 和

$8 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = 11 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 33 λ$

解题步骤 5.5.5

将

$- 24 λ$ 和

$33 λ$ 相加。

$p (λ) = 11 λ^{2} + 9 λ - 99 - λ^{3}$

解题步骤 5.5.6

移动

$- 99$ 。

$p (λ) = 11 λ^{2} + 9 λ - λ^{3} - 99$

解题步骤 5.5.7

移动

$9 λ$ 。

$p (λ) = 11 λ^{2} - λ^{3} + 9 λ - 99$

解题步骤 5.5.8

将

$11 λ^{2}$ 和

$- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = - λ^{3} + 11 λ^{2} + 9 λ - 99$

解题步骤 6

使特征多项式等于

$0$ ，以求特征值

$λ$ 。

$- λ^{3} + 11 λ^{2} + 9 λ - 99 = 0$

解题步骤 7

求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(- λ^{3} + 11 λ^{2}) + 9 λ - 99 = 0$

解题步骤 7.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$λ^{2} (- λ + 11) - 9 (- λ + 11) = 0$

解题步骤 7.1.2

通过因式分解出最大公因数

$- λ + 11$ 来因式分解多项式。

$(- λ + 11) (λ^{2} - 9) = 0$

解题步骤 7.1.3

将

$9$ 重写为

$3^{2}$ 。

$(- λ + 11) (λ^{2} - 3^{2}) = 0$

解题步骤 7.1.4

因数。

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解题步骤 7.1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

$a = λ$ 和

$b = 3$ 。

$(- λ + 11) ((λ + 3) (λ - 3)) = 0$

解题步骤 7.1.4.2

去掉多余的括号。

$(- λ + 11) (λ + 3) (λ - 3) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$- λ + 11 = 0$

$λ + 3 = 0$

$λ - 3 = 0$

解题步骤 7.3

将

$- λ + 11$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.3.1

将

$- λ + 11$ 设为等于

$0$ 。

$- λ + 11 = 0$

解题步骤 7.3.2

求解

$λ$ 的

$- λ + 11 = 0$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

从等式两边同时减去

$11$ 。

$- λ = - 11$

解题步骤 7.3.2.2

将

$- λ = - 11$ 中的每一项除以

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.3.2.2.1

将

$- λ = - 11$ 中的每一项都除以

$- 1$ 。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 11}{- 1}$

解题步骤 7.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{λ}{1} = \frac{- 11}{- 1}$

解题步骤 7.3.2.2.2.2

用

$λ$ 除以

$1$ 。

$λ = \frac{- 11}{- 1}$

解题步骤 7.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.2.2.3.1

用

$- 11$ 除以

$- 1$ 。

$λ = 11$

解题步骤 7.4

将

$λ + 3$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.4.1

将

$λ + 3$ 设为等于

$0$ 。

$λ + 3 = 0$

解题步骤 7.4.2

从等式两边同时减去

$3$ 。

$λ = - 3$

解题步骤 7.5

将

$λ - 3$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.5.1

将

$λ - 3$ 设为等于

$0$ 。

$λ - 3 = 0$

解题步骤 7.5.2

在等式两边都加上

$3$ 。

$λ = 3$

解题步骤 7.6

最终解为使

$(- λ + 11) (λ + 3) (λ - 3) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 11, - 3, 3$

线性代数 示例

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